ELIPSE.

ELIPSE CON EJE FOCAL PARALELO AL EJE X.

EN LA GRÁFICA OBSERVAMOS EL COMPORTAMIENTO DE "a" (EL SEMIEJE MAYOR, EL CUAL ES LA DISTANCIA DEL CENTRO AL VÉRTICE) SIEMPRE DEBE SER MAYOR A "b" (EL SEMIEJE MENOR, EL CUAL ES LA DISTANCIA DEL CENTRO AL EXTREMO) YA QUE SI SON IGUALES SE GENERA UNA CIRCUNFERENCIA, Y SI "b" FUERA MAYOR SERIA UNA ELIPSE VERTICAL.

EN LA GRÁFICA OBSERVAMOS CUANDO "a" ES IGUAL A "b", EL LADO RECTO "LR" SE TRANSFORMA EN UN DIÁMETRO Y POR ULTIMO RECORDEMOS QUE "c" ES LA DISTANCIA DEL CENTRO AL FOCO.

RECUERDA QUE "a" ES MAYOR A "b".

ELIPSE CON EJE FOCAL PARALELO AL EJE Y.

EN LA GRÁFICA OBSERVAMOS EL COMPORTAMIENTO DE "a" (EL SEMIEJE MAYOR, EL CUAL ES LA DISTANCIA DEL CENTRO AL VÉRTICE) SIEMPRE DEBE SER MAYOR A "b" (EL SEMIEJE MENOR, EL CUAL ES LA DISTANCIA DEL CENTRO AL EXTREMO) YA QUE SI SON IGUALES SE GENERA UNA CIRCUNFERENCIA, Y SI "b" FUERA MAYOR SERIA UNA ELIPSE HORIZONTAL.

EN LA GRÁFICA OBSERVAMOS CUANDO "a" ES IGUAL A "b", EL LADO RECTO "LR" SE TRANSFORMA EN UN DIÁMETRO Y POR ULTIMO RECORDEMOS QUE "c" ES LA DISTANCIA DEL CENTRO AL FOCO.

RECUERDA QUE "a" ES MAYOR A "b".

EJEMPLO:

EJEMPLO:

PARÁBOLA.

PARÁBOLA CON EJE FOCAL PARALELO AL EJE Y.

SE OBSERVA QUE LA DISTANCIA DEL VÉRTICE A LA DIRECTRIZ ES IGUAL A LA DISTANCIA DE VÉRTICE AL FOCO; OSEA, EL VÉRTICE ES EL PUNTO MEDIO ENTRE EL FOCO Y LA DIRECTRIZ.

OBSERVA QUE CUANDO p ES NEGATIVA LA PARÁBOLA ABRE HACIA ABAJO.

RECUERDA QUE EL COEFICIENTE "A" DEBE SER IGUAL A 1.

PARÁBOLA CON EJE FOCAL PARALELO AL EJE X.

SE OBSERVA QUE LA DISTANCIA DEL VÉRTICE A LA DIRECTRIZ ES IGUAL A LA DISTANCIA DE VÉRTICE AL FOCO; OSEA, EL VÉRTICE ES EL PUNTO MEDIO ENTRE EL FOCO Y LA DIRECTRIZ.

OBSERVA QUE CUANDO p ES NEGATIVA LA PARÁBOLA ABRE HACIA LA IZQUIERDA.

RECUERDA QUE EL COEFICIENTE "C" DEBE SER IGUAL A 1.

EJEMPLO:

                          

5to paso.- GRAFICAR

EJEMPLO:

VEMOS QUE EL FOCO ESTA ABAJO DE LA DIRECTRIZ, ENTONCES ES UNA PARÁBOLA QUE ABRE HACIA ABAJO, POR TANTO SU EJE FOCAL ES PARALELO AL EJE Y.

5to paso.-  graficamos

PUNTOS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO.

Las tres medianas se intersecan en el punto llamado BARICENTRO.

Las medianas se construyen del vértice al punto medio del lado opuesto.

Las mediatrices se intersecan en el punto llamado CIRCUNCENTRO.
Las mediatrices se construyen a partir del punto medio de un segmento y es la recta perpendicular que pasa por este.

Las bisectrices se cortan en el punto llamado el INCENTRO.

Las bisectrices son las que dividen a un angulo a la mitad.

Las alturas se intersacan en un punto llamado ORTOCENTRO.

Las alturas son las lineas perpendiculares a los lados del triangulo y pasan por los vértices.

EXAMEN.

ENTREGAR EL 8 DE OCTUBRE EN CLASE.

GRAFICAR EN HOJAS MILIMÉTRICAS.

AUXILIARSE CON EL GEOGEBRA.

EJERCICIOS.

TAREA PARA EL DÍA DEL EXAMEN.

1.-  ENCONTRAR EL LUGAR GEOMÉTRICO DE LOS PUNTOS P(x,y) QUE SE MUEVEN DE TAL MANERA QUE LA DIFERENCIA DE SUS DISTANCIAS A LOS PUNTOS A(-5/2, 2) Y B(5/2, 2) ES IGUAL A 2.
2.-  HALLAR LA ECUACIÓN DE LA MEDIATRIZ DEL SEGMENTO AB DETERMINADO POR A(1,-2) Y B(4,3/2).
3.-  DADOS LOS PUNTOS MEDIOS DE LOS LADOS DE UN TRIANGULO A(-1, 3/2); B(7/2,-1/2); C(3/2,3), ENCONTRAR LOS TRES VÉRTICES DE DICHO TRIÁNGULO Y CALCULAR ÁREA Y PERÍMETRO.
4.-  HALLAR LA ECUACIÓN DEL LUGAR GEOMÉTRICO DE LOS PUNTOS P(x,y) CUYAS DISTANCIAS AL PUNTO FIJO A(3,2) SEAN LA MITAD DE SUS DISTANCIAS AL PUNTO B(-1,3).
5.-  SEAN LOS PUNTOS A(0,0); B(3,6) Y C(7,0)HALLAR P(x,y) SI ESTE DEBE EQUIDISTAR A LOS PUNTOS ANTERIORES. 
6.-  DOS DE LOS VÉRTICES DE UN TRIANGULO SON LOS PUNTOS FIJOS A(1,0) Y B(5,0). HALLAR LA ECUACIÓN DEL LUGAR GEOMÉTRICO DEL TERCER VÉRTICE C SI SE MUEVE DE TAL MANERA QUE LA DIFERENCIA ENTRE LAS LONGITUDES DE LOS LADOS AC Y BC ES IGUAL A LA MITAD DE LA LONGITUD DEL LADO AB.  
7.-  DETERMINE LOS PUNTOS DE INTERSECCIÓN DE LOS LUGARES GEOMÉTRICOS 

8.-   EL AREA DEL TRIANGULO CUYOS VERTICES SON (a, 6); (2, a) Y (4,2) ES DE 28 UNIDADES CUADRADAS. ¿CUANTO VALE a?

9.-  DETERMINAR LAS COORDENADAS DE UN PUNTO QUE EQUIDISTE DE LOS PUNTOS A(1,7); B(8,6) Y C(7,1). 

10.-  LAS MEDIANAS DE UN TRIANGULO SE CORTAN EN EL PUNTO P(x,y) LLAMADO BARICENTRO, SITUADO DESDE LOS VÉRTICES A 2/3 DE LA DIFERENCIA DE CADA UNO DE ELLOS AL PUNTO MEDIO DEL LADO OPUESTO. DETERMINE LAS COORDENADAS DEL BARICENTRO DE UN TRIANGULO CUYOS VÉRTICES TIENEN LAS COORDENADAS A(x1,y1); B(x2,y2) Y C(x3,y3).

EJERCICIOS:

TAREA PARA EL DÍA DEL EXAMEN.

1.-  HALLAR LA ECUACIÓN DE LA MEDIATRIZ DEL SEGMENTO AB, SIENDO A(2,2) Y B(8,0).
2.-  HALLAR EL ÁREA DEL TRIÁNGULO A(-1,6); B(-3,-4); C(5,0), MEDIANTE EL DETERMINANTE Y POR EL MÉTODO SIGUIENTE: MULTIPLICAR LA ABSCISA DE CADA VÉRTICE POR LA DIFERENCIA DE ORDENADAS DEL VÉRTICE SIGUIENTE Y EL QUE ANTECEDE, (TAMBIÉN SE PUEDE APLICAR A LOS POLÍGONOS) ( SE ELIGE EL ORDEN DE LOS PUNTOS SEGÚN EL SENTIDO CONTRARIO A LAS MANECILLAS DEL RELOJ). Y TAMBIÉN EL PERÍMETRO.
3.-  SI SE UNEN LOS PUNTOS MEDIOS DE UN CUADRILÁTERO  SE OBTIENE UN PARALELOGRAMO, CUYA ÁREA ES LA MITAD DEL ÁREA DEL CUADRILÁTERO DADO. HALLAR EL ÁREA Y PERÍMETRO DEL CUADRILÁTERO A(10,0); B(12,8); C(4,12); D(0,0).   
4.-  CONSTRUYA UN TRIANGULO, DE TAL MANERA QUE LA INTERSECCIÓN, DE LOS SEGMENTOS DE CADA VÉRTICE AL PUNTO MEDIO DEL SEGMENTO OPUESTO, UNIDO A LOS TRES VÉRTICES GENERE TRES TRIÁNGULOS DE IGUAL ÁREA.    
5.- A(-2-1) Y B(2,3) SON VÉRTICES DE UN TRIANGULO EQUILÁTERO, CALCULAR EL TERCER VÉRTICE. 
6.-  UN PUNTO P(x,y) ESTA SOBRE LA RECTA QUE PASA POR A(-4,4) Y B(5,2). ENCUENTRE LAS COORDENADAS DE P SI EL SEGMENTO AB SE EXTIENDE DE B A P DE MANERA QUE P ESTA ALEJADO DE A EL DOBLE QUE DE B.
7.-  EL SEGMENTO DE RECTA QUE UNE UN VÉRTICE DE UN TRIANGULO CON EL PUNTO MEDIO DEL LADO OPUESTO SE LLAMA MEDIANA DEL TRIANGULO, Y LA INTERSECCIÓN DE LAS TRES MEDIANAS ES UN PUNTO DE TRISECCION DE ESTAS. HALLAR EL OTRO PUNTO DE TRISECCION DE LAS MEDIANAS DEL TRIANGULO CON VÉRTICES A(4,-4); B(10,4); C(2,6).
8.- UN ALBAÑIL SE DISPONE A TRAZAR Y CONSTRUIR UNA ESCALERA, LA CUAL DEBE TENER SEIS ESCALONES EN UN ESPACIO DE 2.5m DE LARGO POR 1.5m DE ALTO. DETERMINAR LAS DIMENSIONES DE LA ESCALERA. 
9.-  ¿EN QUE PUNTO SE DEBE COLOCAR UN SOPORTE PARA QUE, AL COLOCAR UN PESO DE 6 kg EN EL LADO IZQUIERDO Y OTRO DE 15 kg EN EL LADO DERECHO DE UNA TABLA DE 5 m DE LARGO, ÉSTA PERMANEZCA EN EQUILIBRIO.
LA LEY DE PALANCAS NOS DA LA SIGUIENTE RELACIÓN:     6AB= 15BC


  

EXAMEN DE EVALUACIÓN CONTINUA.

 EXAMEN DE EVALUACIÓN

1.- Calcular los vértices de un triángulo A(x₀, y₀₎, B(x₁, y₁), C(x₂, y₂) dadas las coordenadas  de los puntos medios D(x₃, y₃)  =  D(1, 2),  E(x₄, y₄)  =  E(2, -2), y F(x₅, y₅) = F(5, 1) de los lados de un triángulo usando (apoyarse en la figura para el orden de los puntos):

x₀  = x₅ + x₃ – x₄                               y₀ = y₅ + y₃ – y₄

x₁ = x₅ + x₄ – x₃                               y₁ = y₅ + y₄ – y₃

x₂ = x₄ + x₃ – x₅                               y₂ = y₄ + y₃ – y₅

Hallar el área y perímetro de los triángulos.